洛書の魔方陣

1〜9の数字を1回づつ使った3×3の魔方陣は、回転・対称を除くと1つしかない。以前、ニフティで数学者の前田先生に教わった証明は以下だ。

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まず1+2+3+4+5+6+7+8+9=45になる。魔方陣の性質から上辺、中央、下辺の3つの数字の横方向への和はどれも等しいので、横方向への数字の和はどれも45/3=15になる。当然、縦方向や斜めの和も15だ。

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■	五	■
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さてここで5について考えてみる。15-5=10であることから、足して10になる組み合わせを考えてみると、1+9、2+8、3+7、4+6と4組もある。このことから5は必ず中心のマス目を占めることになる。四正の位置では2組、四隅の位置では3組しか使用できず、どれかが必ず余ってしまうからだ。

■ ↑ ■ ■ 五 ■ ← 一 →

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＼ ■ ↑ ■ 五 ↑ ← ← 一

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■ 九 ■ ■ 五 ■ 八 一 六

次に1を考えてみる。中心は既に決まったので、1が占めることのできるマス目は四正の位置か四隅の位置しかない。1が四隅にくるとすると、1を含む辺が2つできることになる。ところが15-1=14なので、足して14になる組み合わせを考えると、9+5、8+6しかない。だが5は中心で既に使用されているので矛盾することになる。なので1は四正の位置を占めることになる。そして中心の5を挟んで対象な位置に9がきて、1を含む辺の両端に8と6がくる。

四 九 二 ■ 五 ■ 八 一 六

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四 九 二 三 五 七 八 一 六

すると8の反対側は2、6の反対側が4となる。これは9の両端でもあり、4+9+2=15で矛盾は生じていない。そして4と8の間が3、その反対側が7となる。そして縦横斜めの数字の和は全て15となって魔方陣が完成する。

つまり5が中心で1が四正の位置ということから、回転して同じになるものを1つと数えると、回転については一通りしかない。また8を1のどちらに置くかで対称なものが派生するが対称なものも同じとするとやはり一通りしかない。ということで1〜9の数字を1回づつ使った3×3の魔方陣は、回転・対称を除くと1つしかないことが証明された。